Equivalência lógica

term: Equivalência lógica symbol: P \equiv Q summary: "P ≡ Q quando P ↔ Q é tautologia. Mesmo conteúdo, sintaxe diferente — intercambiáveis em qualquer contexto." relatedModules: [propositional-logic] seeAlso: [bicondicional, tautologia, leis-de-morgan]

Símbolo

$P \equiv Q$ (também $P \Leftrightarrow Q$ quando o contexto deixa claro que é meta-linguagem).

Definição

Duas proposições são logicamente equivalentes quando têm o mesmo valor-verdade sob toda atribuição. Equivalentemente: $P \leftrightarrow Q$ é tautologia.

Distinção do bicondicional

O bicondicional ($\leftrightarrow$) é um conectivo — forma uma nova proposição. A equivalência ($\equiv$) é uma relação sobre proposições — uma afirmação de que duas proposições são intercambiáveis em qualquer contexto. O bicondicional vive dentro da linguagem; a equivalência fala sobre a linguagem.

Intuição

Mesmo conteúdo, sintaxe diferente. Pode-se substituir uma pela outra em qualquer fórmula sem mudar o valor-verdade.

Exemplos

• $P \rightarrow Q \;\equiv\; \neg P \vee Q$
• $\neg(P \wedge Q) \;\equiv\; \neg P \vee \neg Q$ (leis de De Morgan)
• $P \rightarrow Q \;\equiv\; \neg Q \rightarrow \neg P$ (contrapositiva)